tutoria 3

IMPORTANCIA DE LOGICA PROPOSICIONAL Y LA INFERENCIA LOGICA

LOGICA PROPOSICIONAL
La lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens.
De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.

La lógica como principio fundamental de cualquier actuación humana que conlleve a realizar o resolver situaciones exitosamente, requiere de procesos no siempre intuitivos y tampoco aleatorios. La lógica en el ser humano se desarrolla por procesos de acumulación de conocimiento y experiencia.

La lógica proposicional es fundamental en el desarrollo de la lógica, y se basa en la evaluación de los enunciados o proposiciones para determinar su validez soportada en el razonamiento y el análisis de estos.

La lógica proposicional es parte de los aportes del conocimiento, hacia la conformación de la lógica en el hombre, desde los principios de la filosofía y las matemáticas, como ejes consistentes de la ciencia y el conocimiento a lo largo de la evolución del hombre como ser pensante y razonante.

INFERENCIA LOGICA
La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.
Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)
La inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.

Deductiva (de lo general a lo particular)
La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.



Transductiva (de particular a particular o de general a general)
Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentara, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

En conclusión el tema de la Inferencia Lógica se basa en la aplicación de un conjunto de reglas para el tratamiento de las proposiciones, que faciliten deducir conclusiones a partir de las premisas dadas.


TALLER No. 3


1. Desarrolle los siguientes ejercicios, de acuerdo a lo que se pida.
1.1. Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente entonces también lo tienen que hacer los lenguajes de programación y de igual manera sucede con el hardware.

a. Descomponga en las proposiciones simples.

• Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente
• También lo tienen que hacer los lenguajes de programación
• De igual manera sucede con el hardware

b. Simbolice cada una de las proposiciones, y escriba la representación de la proposición completa.

R= Los sistemas operativos evolucionan aceleradamente
P= También lo tienen que hacer los lenguajes de programación
Q= De igual manera sucede con el hardware

R => (P^Q)

c. Cual es la conclusión.

R P Q R => P^Q
1 1 1 1 1
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 0


1.2. Construya proposiciones compuestas con las siguientes proposiciones.

A. La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip.
B. La tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de hardware.
C. El procesador Intel Pentium Centrino, fue diseñado para equipos portátiles, con una tecnología que consume menos energía.
D. El futuro de los celulares apunta cada vez mas a ser equipos multifuncionales, que permiten realizar tareas de una palm, enlace a Internet y telefonía y lo mejor a muy bajos costos.

- La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip entonces la tendencia apunta hacia la miniaturización de los componentes del hardware.

- La tendencia apunta hacia la miniaturización de los componentes del hardware entonces el procesador Intel Pentium Centrino, fue diseñado para equipos portátiles, con una tecnología que consume menos energía.

- La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip o el procesador Intel Pentium Centrino, fue diseñado para equipos portátiles, con una tecnología que consume menos energía.

- La tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de hardware o el futuro de los celulares apunta cada vez mas a ser equipos multifuncionales, que permiten realizar tareas de una palm, enlace a Internet y telefonía y lo mejor a muy bajos.

- La tecnología en computación basa su evolución en el descubrimiento del chip y la tendencia de la tecnología apunta hacia la miniaturización de los componentes de hardware.

1.3. Simbolice todas las proposiciones escritas en el punto anterior.

- A=>B
- B=>C
- A v C
- B v D
- A ^ B

1.4. Elabore proposiciones de todo tipo (atómicas y moleculares) y utilizando todos los términos de enlace revisados en el tema lógica proposicional. Los temas base para las proposiciones son.

a. Los videos juegos y sus aplicaciones en el rol diario de las personas, ventajas y desventajas de su utilización.

Podemos decir que un video juego y sus aplicaciones puede llegar a ser útil a una familia, lo cual entonces podemos decir que, una familia se puede reconfortar, pudiendo así pasar un momento agradable, sirve para un mejoramiento de la funcionalidad familiar, y conllevando a una integración, permitiendo que halla unión familiar.

b. Aportes y aplicaciones de la tecnología informática en la ciencia y la investigación.

Se puede llegar a una conclusión lógica y analítica que conlleva a un mejoramiento en el desarrollo de las ideas, para llegar a un mejor desempeño de la evolución científica, lo cual entonces podemos afirmar:

“Con el aporte de una idea se puede cambiar la forma de ver las cosas, y puede conllevar a muchas formas en la evolución científica para un mejor futuro de la humanidad”.


2. Tablas de Verdad.
Utilice 1 para Verdadero y 0 para Falso.
2.1. Elabore las tablas de verdad para Conjunción, Disyunción, Negación.

CONJUNCION
P Q P^Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

DISYUNCION
P Q P^Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

NEGACION
P Q ¬P ¬Q
1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1

2.2. Elabore las tablas de verdad para condicional y bicondicional.

CONDICIONAL
P Q PQ
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

BICONDICIONAL
P Q PQ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1


2.3. Que diferencia puede establecer entre 4.1 y 4.2. Identifique la lógica de cada una de ellas.

Rta/:
En las funciones de verdad como la conjunción y disyunción, encontramos que no se requieren condiciones, ya sean inscritas o impuestas para que se cumpla la función. En cambio las funciones condicionales y bicondicionales, encontramos que se requieren condiciones, ya sean inscritas o impuestas para que se cumpla la función.

Negación (¬),(~) : Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

Conjunción : La proposición molecular será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

Disyunción : La proposición molecular será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

Condicional (→) : La proposición molecular será verdadera cuando se cumpla si es verdadero A entonces lo es B.

Bicondicional (↔, si y sólo si): La proposición molecular será verdadera cuando ambas variables proposicionales tengan a la vez el mismo valor de verdad.

2.4. Demuestre la siguiente equivalencia: z → k ≡ ~ z v k.

Z K ZK
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Z K ¬Z ¬Z v K
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1

Z  K ≡ ~ Z v K



2.5. Elabore la tabla de Verdad para la proposición. K ^ ~(K v F).

K F K^ ¬ K v F
1 1 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 0 1 0


2.6. Demuestre si la tabla de verdad resultante para las siguientes proposiciones es igual: ~ (a ^d) ≡ ~a v ~d

a b ¬ a ^ b
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 1 0
A b ¬a v ¬b
1 1 0 0 0
1 0 0 1 1
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
¬ (a ^d) ≡ ¬a v ¬d

2.7. Determine las tablas de verdad para: a) (c → n) → (c ^ n)

a). (c → n) → (c ^ n)

c n c  n  c ^ n
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0

b). (c → n) v ~ (c  ~ n)

c n ¬ n c  n v ¬ c  ¬ n
1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0


2.8. Construya la tabla de verdad para: [(m → b) ^b] → (~m ^b).

m b ¬ m mb ^b  ¬m^b
1 1 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 0 0


2.9. Simbolice y elabore la tabla de verdad para las proposiciones del ítem 2.4.

Podemos decir que un video juego y sus aplicaciones puede llegar a ser útil a una familia, lo cual entonces podemos decir que, una familia se puede reconfortar, pudiendo así pasar un momento agradable, sirve para un mejoramiento de la funcionalidad familiar, y conllevando a una integración, permitiendo que halla unión familiar.

V Podemos decir que un video juego
A sus aplicaciones puede llegar a ser útil a una familia
F podemos decir que, una familia se puede reconfortar, pudiendo así pasar un momento agradable. Sirve para un mejoramiento de la funcionalidad familiar
T conllevando a una integración, permitiendo que halla unión familiar



a. (V ^ A)(F ^ T)

V A F T (V ^ A) (F ^ T) (V ^ A)(F ^ T)
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1

Se puede llegar a una conclusión lógica y analítica que conlleva a un mejoramiento en el desarrollo de las ideas, para llegar a un mejor desempeño de la evolución científica, lo cual entonces podemos afirmar:

“Con el aporte de una idea se puede cambiar la forma de ver las cosas, y puede conllevar a muchas formas en la evolución científica para un mejor futuro de la humanidad”.

A Se puede llegar a una conclusión lógica
B analítica que conlleva a un mejoramiento en el desarrollo de las ideas, para llegar a un mejor desempeño de la evolución científica
C Con el aporte de una idea se puede cambiar la forma de ver las cosas
D puede conllevar a muchas formas en la evolución científica para un mejor futuro de la humanidad

b. (A ^ B)(C ^ D)

A B C D (A ^ B) (C ^D) (A ^ B)(C ^ D)
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1




2.10. Demuestre por medio de tablas de verdad una tautología, contradicción y contingencia. Explique en que consiste cada una de ellas.

 TAUTOLOGIA: Una proposición es una tautología cuando el valor de la forma proposicional es siempre verdad, independientemente de los valores de las propocisiones componentes.

P Q P ^ Q  Q v P
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 0 1 0

 CONTRADICCION: Una proposición es una contradicción cuando el valor de la forma proposicional es siempre falso, independientemente de los valores de las proposiciones componentes.

P Q ¬Q (P ^ Q) ^ ¬Q
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0

 CONTIGENCIA O PROPOSIONES INDETREMINADAS: Una proposición es una contigencia cuando en la ultima columna efectuada de la tabla de verdad correspondiente aparece algunas veces el valor verdadero y otras el falso.

P Q ¬Q (P ^ Q) v (P ^ ¬Q)
1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0

3. Evalué las siguientes expresiones e indique el resultado en términos de 1 (Verdadero) o 0 (Falso).
R=25.5, Z=37, F= -4, W= -2

a. ((R * W) > Z) o ((F ^ 2) > R)
(-51 > 37) v (16 > 25.5)
1 0
0


b. (R > (W * W)) y ((F ^ 3) > Z)
(25.5 > 4) ^ (-64 > -2)
1 0
0

c. ((R > (Z *-1)) o (F < W) )) y (W > F)
(25.5 > 2) v (-4 < -2) ^ (-2 > -4)
1 1 1
1
1

d. (Z > R) y ((F ^ 2) > 0) y ((W *-1) < 0)
(37 > 25.5) ^ (16 > 0) ^ (2 < 0)
1 1 1
1 1
1

e. (R > (F ^ 4)) o (((R * 2) > Z) y (F > (W * -2)))
(25.5 > 256) v (51 > 37) ^ (-4 > 4)
0 1 0
0
0

4. Indique ejemplos para las reglas de inferencia:

4.1 Describa la regla de la Adjunción (se designa por A)

K Premisa 1 Verdadera
T Premisa 2 Verdadera
______________
K ^ T Conclusión o
T ^ K Conclusión

K “Juan es cocinero”

T “Pedro es policía”

K ^ T “Juan es cocinero y Pedro es policía”

4.2. Describa la regla de la Simplificación (Se designa por S)

K ^ T De la premisa
______________
K Se puede concluir
T o concluir

K ^ T “Tengo una manzana y tengo una pera”

K “Tengo una manzana”

T “Tengo una pera”


4.3. Ley de la adición Regla valida o aplicable a la disyunción.

K “He comprado manzanas”

K v T “He comprado manzanas o he comprado peras”


4.4. Ley del silogismo hipotético.

K → T “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

T → R “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”

K  R “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”


4.5. Ley del silogismo disyuntivo

K → T “Si llueve, entonces las calles se mojan”

R → S “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

K V R “Llueve o la tierra tiembla”

T v S “Las calles se mojan o los edificios se caen”


4.6. Ley de Morgan

K ^ T “Tengo una manzana y tengo una pera”

¬(¬K v ¬T) “No ocurre, que no tengo una manzana y no tengo una pera”

K v T “Llueve o la tierra tiembla”

¬(¬K ^ ¬T) “No es cierto, que no llueve o la tierra no tiembla”


4.7. Ley Conmutativa

K ^ Q ↔ Q ^ K “Tengo una manzana y tengo una pera entonces Tengo una pera y tengo una manzana”

K v Q ↔ Q v K “Llueve o la tierra tiembla entonces la tierra tiembla o llueve”


5.1. En la solución de los siguientes ejercicios para cada uno de los pasos debe indicar que regla de inferencia lógica aplica en la demostración.


a. Demostrar B ^ D

P1 B ^ C
P2 B → D
B S1
D PP2,3
B^D A3,4



b. Demostrar: ¬S ^ Q

P1 ¬S → Q
P2 ¬(T ^ R)
P3 S→(T^R)
¬S TT3,2
Q PP1,3
¬S ^ Q A4,3


c. Demostrar: A ^ B

P1 B
P2 B→¬D
P3 A v D
¬D TT2,1
A TP3,4
A ^ B A5,1

d. Demostrar: R

P1 ¬Q v S
P2 ¬S
P3 ¬(R ^S) → Q
¬Q TP1,2
(R ^ S) TT3,4
R S5


e. Demostrar T

P1 P → S
P2 ¬S
P3 ¬P → T
¬P TT1,2
T PP3,4



f. Demostrar S ^ T

P1 P ^ R
P2 P → S
P3 R → T
P S1
R S1
S PP2,4
T P3,5
S ^ T A6,7



g. Demostrar T v Q

P1 S → (P ^ Q)
P2 S
P3 (P ^ Q) → T
P ^ Q PP1,2
Q S4
T PP3,4
T v Q LA5,6
h. Demostrar K ^ J

P1 J
P2 J → ¬D
P3 K v D
¬D PP2,1
K TP3,4
K ^ J A4,1

g. Demostrar ¬S

P1 P → Q
P2 Q → R
P3 S → ¬R
P4 P
Q PP1,4
R PP2,5
¬S TT3,6



h. Demostrar ¬S

P1 ¬(P ^ Q)
P2 ¬Q → T
P3 ¬P → T
P4 S → ¬T
P ^ Q DN1
Q S5
¬T TT2,6
S PP4,7
¬S N8

5.2. Simbolice las siguientes proposiciones y escriba la demostración indicando en cada caso la regla de inferencia lógica aplicada, hasta llegar a la conclusión.

a. Demostrar: y + 8 < 12 b. Demostrar: x < 5
x + 8 = 12 v x ≠ 4 x < y v x = y
x = 4 ^ y < x x = y → y ≠ 5
x + 8 = 12 ^ y < x → y + 8 < 12 x < y ^ y = 5 → x < 5
y = 5

P y + 8 < 12 (Demostrar)
F x = 4 d x < 5 (Demostrar)
¬F x ≠ 4 a x < y
K x + 8 = 12 b x = y
G y < x c y = 5
¬c y ≠ 5
P1 K v F
P2 ¬F ^ G P1 a v b
P3 (K ^ G) → P P2 b → ¬c
¬F S2 P3 (a ^ c) → d
G S2 P4 C
K TP1,4 ¬b TT2,4
K ^ G A6,5 a TP1,5
P PP7,3 a ^ c A6,4
d PP7,3


c. Demostrar: x > 6 d. Demostrar: x = 0
x > 5 → x = 6 v x > 6 x ≠ 0 → y = 1
x ≠ 5 ^ x ≮ 5 → x > 5 x = y → y = w
x < 5 → x ≠ 3+4 y = w → y ≠ 1
x = 3+4 ^ x ≠ 6 x = y
x = 3+4 → x ≠ 5
P x = 0 (Demostrar)
E x > 6 (Demostrar) ¬P x ≠ 0
F x > 5 R y = 1
G x = 6 ¬R y ≠ 1
¬G x ≠ 6 S x = y
H x ≠ 5 T y = w
J x < 5
¬J x ≮ 5 P1 ¬P → R
D x = 3+4 P2 S → T
¬D x ≠ 3+4 P3 T → ¬R
P4 S
P1 F → (G v E) T PP2,4
P2 (H ^¬J) → F ¬R PP3,5
P3 J → ¬D P TT1,6
P4 D ^ ¬G
P5 D → H
D S3
¬J TT3,6
H PP5,6
H ^¬J A8,7
F PP2,9
G v E PP1,10
¬G S4
E TP10,11